Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Étape 4.5.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

Étape 4.6

Multipliez $- (4 \cdot 5)$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $4$ par $5$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 20}$

Étape 4.6.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - 20}$

Étape 4.7

Soustrayez $20$ de $25$ .

Adjacent $= - \sqrt{5}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{5}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{2}{- 1}$

Étape 6.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot 2$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\tan (θ) = - 2$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{5}{- \sqrt{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{5}{\sqrt{5}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

Étape 8.3.4.2

Divisez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = - 2$

$\cot (θ) = - \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$