Trigonométrie Exemples

$\sin (3 θ) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$3 θ = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$3 θ = π - \frac{π}{2}$

Étape 5

Résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 2$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$3 θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 5.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 \cdot π$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (3 θ)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (3 θ)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$