Trigonométrie Exemples

$(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, - \frac{1}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, - \frac{1}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, 0)$ et $(\frac{2 \sqrt{2}}{3}, - \frac{1}{3})$ .

Opposé : $- \frac{1}{3}$

Adjacent : $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{2}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2^{1}}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2}{3^{2}} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 2}{9} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + {(- \frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{8 + 1}{9}}$

Étape 2.10

Additionnez $8$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Étape 2.11

Divisez $9$ par $9$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.12

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 \cdot 3)$

Étape 4.3

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot 3$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\csc (θ) = - 3$