Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$ , $\tan (θ) > 0$

Étape 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The sine function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the first quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

La solution se trouve dans le premier quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 3

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Adjacent $= \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Adjacent $= \sqrt{16 - 1}$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $16$ .

Adjacent $= \sqrt{15}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.2.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.2.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 7.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 7.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 7.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{15}}{1}$

Étape 8.3

Divisez $\sqrt{15}$ par $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{4}{1}$

Étape 10.3

Divisez $4$ par $1$ .

$\csc (θ) = 4$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$