Trigonométrie Exemples

$\csc (θ) - \sin (θ)$ ?

Étape 1

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (θ)} - \sin (θ)$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) - \sin (θ)$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = \csc (θ)$ et $b = - 1 \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $- 1 \sin (θ)$ comme $- \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sin (θ))}^{2} + \csc^{2} (θ)}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $- \sin (θ)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Étape 6.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 \sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Étape 6.4

Multipliez $\sin^{2} (θ)$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Étape 6.5

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Étape 6.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1}{\sin^{2} (θ)}}$

Étape 6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}}$

Étape 6.7.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2}}$

Étape 6.7.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})$ et $| z | = \sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)}$ .

$\sqrt{\sin^{2} (θ) + \csc^{2} (θ)} (\cos (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})) + i \sin (\arctan (\frac{- 1 \sin (θ)}{\csc (θ)})))$