Trigonométrie Exemples

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Étape 2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ .

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Étape 2.1

Multipliez par $1$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{4} (x)$

Étape 2.2

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{4} (x)$ .

$\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Étape 2.3

Factorisez $\tan^{2} (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x))$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 3.1

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(\sec^{2} (x) - 1) \sec^{2} (x)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) \sec^{2} (x)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.4

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.5

Réécrivez $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ comme $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.7

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.8

Pour écrire $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\cos (x)}^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.9.1

Multipliez $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ par $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}$

Étape 6.9.2

Multipliez ${\cos (x)}^{2}$ par ${\cos (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}}$

Étape 6.9.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Étape 6.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}}$

Étape 6.11

Simplifiez le numérateur.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{4} (x)}$ comme $\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{4} (x) - \sec^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$ est une identité