Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 6

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 10.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 10.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 10.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 10.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 11.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 11.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$