Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos^{2} (θ)$ par $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1

Remettez dans l’ordre $\sin (θ)$ et $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\sin (θ) \cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 2.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Étape 2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 3

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $90$ .

$θ = 90$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 90$

Étape 5.2.4

Soustrayez $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $1 - \cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Définissez $1 - \cos (θ)$ égal à $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $1 - \cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (θ) = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Étape 6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (1)$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 6.2.5

$θ = 360 - 0$

Étape 6.2.6

Soustrayez $0$ de $360$ .

$θ = 360$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ vraie.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $90 + 360 n$ et $270 + 360 n$ en $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $360 n$ et $360 + 360 n$ en $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ vrai.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ , pour tout entier $n$