Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sin (θ)}^{2 \cdot 2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{\sin^{4} (θ)}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\sin^{4} (θ)$ comme ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{{(\sin^{2} (θ))}^{2}}{{(1 + \cos (θ))}^{2}}$ comme ${(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)})}^{2}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})$ et $| z | = \frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{(1 + \cos (θ)) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{\sin^{2} (θ)}{1 + \cos (θ)}})))}$