Trigonométrie Exemples

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Étape 1

Remplacez le $2 \sec^{2} (θ)$ par $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

Étape 4

Remplacez $u = \tan^{2} (θ)$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Étape 6

Additionnez $2$ et $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Étape 7.2

Factorisez.

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Étape 7.2.1

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 9

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 10

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 3) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 3, - 1$

Étape 12

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = \tan^{2} (θ)$ dans l’équation résolue.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Étape 13

Résolvez la première équation pour $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $\tan (θ)$ .

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Étape 14.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Étape 14.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Étape 14.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Étape 14.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 15

Résolvez la deuxième équation pour $\tan (θ)$ .

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $\tan (θ)$ .

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Étape 16.1

Supprimez les parenthèses.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

Étape 16.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 16.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

Étape 16.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 16.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = i$

Étape 16.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - i$

Étape 16.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = i, - i$

Étape 17

La solution à $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ est $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Étape 18

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

Étape 19

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Étape 19.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 19.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $60$ .

$θ = 60$

Étape 19.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 60$

Étape 19.4

Additionnez $180$ et $60$ .

$θ = 240$

Étape 19.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 19.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 19.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 19.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 19.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 19.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 20

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 20.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 20.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 20.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- 60$ .

$θ = - 60$

Étape 20.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 60 - 180$

Étape 20.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 20.4.1

Ajoutez $360 °$ à $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

Étape 20.4.2

L’angle résultant de $120 °$ est positif et coterminal avec $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

Étape 20.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 20.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 20.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 20.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 20.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 20.6

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 20.6.1

Ajoutez $180$ à $- 60$ pour déterminer l’angle positif.

$- 60 + 180$

Étape 20.6.2

Soustrayez $60$ de $180$ .

$120$

Étape 20.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 120$

Étape 20.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 21

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = i$ .

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Étape 21.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (i)$

Étape 21.2

La tangente inverse de $\arctan (i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 22

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - i$ .

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Étape 22.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- i)$

Étape 22.2

La tangente inverse de $\arctan (- i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 23

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 24

Consolidez les solutions.

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Étape 24.1

Consolidez $60 + 180 n$ et $240 + 180 n$ en $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 24.2

Consolidez $120 + 180 n$ et $120 + 180 n$ en $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$