Trigonométrie Exemples

$9 \tan^{2} (θ) - 4 = 0$

Étape 1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$9 \tan^{2} (θ) = 4$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $9 \tan^{2} (θ) = 4$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $9 \tan^{2} (θ) = 4$ par $9$ .

$\frac{9 \tan^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \tan^{2} (θ)}{9} = \frac{4}{9}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (θ)$ par $1$ .

$\tan^{2} (θ) = \frac{4}{9}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\tan (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan (θ) = \pm \frac{2}{3}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = \frac{2}{3}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - \frac{2}{3}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\tan (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{2}{3}$

Étape 7

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = \frac{2}{3}$ .

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Étape 7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\frac{2}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\arctan (\frac{2}{3})$ .

$θ = 33.69006752$

Étape 7.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 33.69006752$

Étape 7.4

Additionnez $180$ et $33.69006752$ .

$θ = 213.69006752$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 7.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 33.69006752 + 180 n, 213.69006752 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - \frac{2}{3}$ .

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Étape 8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- \frac{2}{3})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\arctan (- \frac{2}{3})$ .

$θ = - 33.69006752$

Étape 8.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 33.69006752 - 180$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Ajoutez $360 °$ à $- 33.69006752 - 180 °$ .

$θ = - 33.69006752 - 180 ° + 360 °$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $146.30993247 °$ est positif et coterminal avec $- 33.69006752 - 180$ .

$θ = 146.30993247 °$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 8.6

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $180$ à $- 33.69006752$ pour déterminer l’angle positif.

$- 33.69006752 + 180$

Étape 8.6.2

Soustrayez $33.69006752$ de $180$ .

$146.30993247$

Étape 8.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 146.30993247$

Étape 8.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 146.30993247 + 180 n, 146.30993247 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 33.69006752 + 180 n, 213.69006752 + 180 n, 146.30993247 + 180 n, 146.30993247 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $33.69006752 + 180 n$ et $213.69006752 + 180 n$ en $33.69006752 + 180 n$ .

$θ = 33.69006752 + 180 n, 146.30993247 + 180 n, 146.30993247 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $146.30993247 + 180 n$ et $146.30993247 + 180 n$ en $146.30993247 + 180 n$ .

$θ = 33.69006752 + 180 n, 146.30993247 + 180 n$ , pour tout entier $n$