Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{\csc (θ) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} \cdot \frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\csc (θ) - 1}$ par $\frac{\csc (θ) + 1}{\csc (θ) + 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} \cdot \frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\csc (θ) + 1}$ par $\frac{\csc (θ) - 1}{\csc (θ) - 1}$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\csc (θ) - 1) (\csc (θ) + 1)$ .

$\frac{\csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)} - \frac{\csc (θ) - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\csc (θ) + 1 - (\csc (θ) - 1)}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) - - 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\csc (θ) + 1 - \csc (θ) + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 3.2

Soustrayez $\csc (θ)$ de $\csc (θ)$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 + 1}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(\csc (θ) + 1) (\csc (θ) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{\csc (θ) (\csc (θ) - 1) + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 (\csc (θ) - 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{\csc (θ) \csc (θ) + \csc (θ) \cdot - 1 + 1 \csc (θ) + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2}{\csc^{2} (θ) - 1}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2}{\cot^{2} (θ)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Écrivez $\cot (θ)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2}{{(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{2}{\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 7.2

Associez $2$ et $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{2 \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ comme $2 \tan^{2} (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\csc (θ) - 1} - \frac{1}{\csc (θ) + 1} = 2 \tan^{2} (θ)$ est une identité