Trigonométrie Exemples

$5 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (θ)$ par $u$ .

$5 u^{2} + u = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2} + u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $5 u^{2}$ .

$u (5 u) + u = 0$

Étape 1.2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u (5 u) + u = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u (5 u) + u \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u (5 u) + u \cdot 1$ .

$u (5 u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (5 \cos (θ) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$5 \cos (θ) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $90$ .

$θ = 90$

Étape 3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 90$

Étape 3.2.4

Soustrayez $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $5 \cos (θ) + 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $5 \cos (θ) + 1$ égal à $0$ .

$5 \cos (θ) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5 \cos (θ) + 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 \cos (θ) = - 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 \cos (θ) = - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (θ) = - 1$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (θ)}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (θ)}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{5}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{1}{5}$

Étape 4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arccos (- \frac{1}{5})$ .

$θ = 101.53695903$

Étape 4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 - 101.53695903$

Étape 4.2.6

Soustrayez $101.53695903$ de $360$ .

$θ = 258.46304096$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 101.53695903 + 360 n, 258.46304096 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (θ) (5 \cos (θ) + 1) = 0$ vraie.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 101.53695903 + 360 n, 258.46304096 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $90 + 360 n$ et $270 + 360 n$ en $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 101.53695903 + 360 n, 258.46304096 + 360 n$ , pour tout entier $n$