Trigonométrie Exemples

$2 \tan^{2} (θ) + 5 \tan (θ) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \tan (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\tan (θ)$ par $u$ .

$2 u^{2} + 5 u = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2} + 5 u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) + 5 u = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $5 u$ .

$u (2 u) + u \cdot 5 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u) + u \cdot 5$ .

$u (2 u + 5) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) (2 \tan (θ) + 5) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$2 \tan (θ) + 5 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 3.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 0$

Étape 3.2.4

Additionnez $180$ et $0$ .

$θ = 180$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $2 \tan (θ) + 5$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 \tan (θ) + 5$ égal à $0$ .

$2 \tan (θ) + 5 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 \tan (θ) + 5 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 \tan (θ) = - 5$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 5}{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{5}{2}$

Étape 4.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- \frac{5}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arctan (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 68.19859051$

Étape 4.2.5

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 68.19859051 - 180$

Étape 4.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.6.1

Ajoutez $360 °$ à $- 68.19859051 - 180 °$ .

$θ = - 68.19859051 - 180 ° + 360 °$

Étape 4.2.6.2

L’angle résultant de $111.80140948 °$ est positif et coterminal avec $- 68.19859051 - 180$ .

$θ = 111.80140948 °$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 4.2.8

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.8.1

Ajoutez $180$ à $- 68.19859051$ pour déterminer l’angle positif.

$- 68.19859051 + 180$

Étape 4.2.8.2

Soustrayez $68.19859051$ de $180$ .

$111.80140948$

Étape 4.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 111.80140948$

Étape 4.2.9

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 111.80140948 + 180 n, 111.80140948 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (θ) (2 \tan (θ) + 5) = 0$ vraie.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 111.80140948 + 180 n, 111.80140948 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

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Étape 6.1

Consolidez $180 n$ et $180 + 180 n$ en $180 n$ .

$θ = 180 n, 111.80140948 + 180 n, 111.80140948 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2

Consolidez $111.80140948 + 180 n$ et $111.80140948 + 180 n$ en $111.80140948 + 180 n$ .

$θ = 180 n, 111.80140948 + 180 n$ , pour tout entier $n$