Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = - 1$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(1)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Adjacent $= - \sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{1 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Adjacent $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Étape 4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Adjacent $= - \sqrt{1 - 1}$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{0}$

Étape 4.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Adjacent $= - 0$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

Adjacent $= 0$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{0}{1}$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $1$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 1}{0}$

Étape 6.3

Après la division par $0$ , la tangente est indéfinie sur $θ$ .

$\tan (θ) = Undefined$

Indéfini

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\cot (θ) = 0$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{1}{0}$

Étape 8.3

Après la division par $0$ , la sécante est indéfinie sur $θ$ .

$\sec (θ) = Undefined$

Indéfini

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{1}{- 1}$

Étape 9.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\csc (θ) = - 1$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

Indéfini