Trigonométrie Exemples

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $\sin^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ .

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Étape 2.1

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.5

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $u$ à partir de $4 u - u^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

Étape 3.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

Définissez $4 - \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $4 - \cos (x)$ égal à $0$ .

$4 - \cos (x) = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $4 - \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - 4$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 4$

Étape 3.4.2.3

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $4$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$