Trigonométrie Exemples

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$- \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ par $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ .

$- (\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)})$

Étape 3

Associez.

$- \frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Étape 4.2

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$- \frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Étape 4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ .

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$- \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Étape 6

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Étape 7

Associez.

$\frac{- (\cos (u) - \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \cos (u) - (- \cos (u) \sin (u))}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Étape 8.2

Multipliez $- (- \cos (u) \sin (u))$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin^{2} (u))}$

Étape 9

Multipliez $1 - {\sin (u)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

Étape 10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $- \cos (u) + \cos (u) \sin (u)$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $- \cos (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 11.1.2

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $\cos (u) \sin (u)$ .

$\frac{\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 11.1.3

Factorisez $\cos (u)$ à partir de $\cos (u) \cdot - 1 + \cos (u) (\sin (u))$ .

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

Étape 11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1

Factorisez $\cos (u)$ à partir de ${\cos (u)}^{2}$ .

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (u) (- 1 + \sin (u))}{\cos (u) \cos (u)}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 11.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 12

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 13

Associez.

$\frac{- (1 - \sin (u))}{1 \cos (u)}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Étape 14.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - - \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Étape 14.3

Multipliez $- - \sin (u)$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{1 \cos (u)}$

Étape 15

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 16.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 16.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 16.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 17

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\tan (u) - \sec (u)$

Étape 18

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 18.1

Écrivez $\tan (u)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \sec (u)$

Étape 18.2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (u)$ .

$\frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (u) - 1}{\cos (u)}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 20.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (u)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 20.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin (u))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin (u))}{\cos (u)}$

Étape 20.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

Étape 21

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (u) - \sec (u) = - \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ est une identité