Trigonométrie Exemples

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

Étape 1

Soustrayez $12 \tan (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Étape 2

Factorisez $6 \tan (θ)$ à partir de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $6 \tan (θ)$ à partir de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $6 \tan (θ)$ à partir de $- 12 \tan (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $6 \tan (θ)$ à partir de $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ) + 6 \tan (θ) \cdot - 2$ .

$6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $180$ et $0$ .

$θ = 180$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sec^{2} (θ) - 2$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sec^{2} (θ) - 2$ égal à $0$ .

$\sec^{2} (θ) - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sec^{2} (θ) - 2 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec^{2} (θ) = 2$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

Étape 5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 5.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sec (θ) = \sqrt{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.5

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = \sqrt{2}$ .

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Étape 5.2.5.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 5.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.5.2.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $45$ .

$θ = 45$

Étape 5.2.5.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 45$

Étape 5.2.5.4

Soustrayez $45$ de $360$ .

$θ = 315$

Étape 5.2.5.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 5.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.5.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.5.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.6

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 5.2.6.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.6.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $135$ .

$θ = 135$

Étape 5.2.6.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 - 135$

Étape 5.2.6.4

Soustrayez $135$ de $360$ .

$θ = 225$

Étape 5.2.6.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 5.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.6.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.6.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Consolidez les réponses.

$θ = 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 \tan (θ) (\sec^{2} (θ) - 2) = 0$ vraie.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $180 n$ et $180 + 180 n$ en $180 n$ .

$θ = 180 n, 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$