Trigonométrie Exemples

$\frac{5 π}{12}$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 2.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 3

Définissez les coordonnées $(\cos (θ), \sin (θ))$ .

$(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})$