Trigonométrie Exemples

$9 \sin (18 x) + 11 = 2$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (18 x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$9 \sin (18 x) = 2 - 11$

Étape 1.2

Soustrayez $11$ de $2$ .

$9 \sin (18 x) = - 9$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $9 \sin (18 x) = - 9$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (18 x) = - 9$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (18 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (18 x)$ par $1$ .

$\sin (18 x) = \frac{- 9}{9}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $- 9$ par $9$ .

$\sin (18 x) = - 1$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$18 x = \arcsin (- 1)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$18 x = - \frac{π}{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $18 x = - \frac{π}{2}$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $18 x = - \frac{π}{2}$ par $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{18}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Étape 5.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{18}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{18}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{18 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $18$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{36}$

Étape 6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$18 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$18 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $18 x = \frac{3 π}{2}$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $18 x = \frac{3 π}{2}$ par $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x}{18} = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{18}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Étape 7.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{18}$

Étape 7.3.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3 (6)}$

Étape 7.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 6}$

Étape 7.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 7.3.3.3

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.3.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 8

Déterminez la période de $\sin (18 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $18$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 18 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $18$ est $18$ .

$\frac{2 π}{18}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $18$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{18}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 9}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{9}$

Étape 9

Ajoutez $\frac{π}{9}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.1

Ajoutez $\frac{π}{9}$ à $- \frac{π}{36}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{36} + \frac{π}{9}$

Étape 9.2

Pour écrire $\frac{π}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{36}$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{π}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{π}{36}$

Étape 9.3.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{36} - \frac{π}{36}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{36}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{36}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{36}$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $36$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{36}$

Étape 9.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Étape 9.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 π}{3 \cdot 12}$

Étape 9.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{12}$

Étape 9.7

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{π}{12}$

Étape 10

La période de la fonction $\sin (18 x)$ est $\frac{π}{9}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{9}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{9}$ , pour tout entier $n$