Trigonométrie Exemples

$\sin (3 θ) = - 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$3 θ = \arcsin (- 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$3 θ = - \frac{π}{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 θ = - \frac{π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = - \frac{π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Étape 4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{3 π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{3 π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$θ = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (3 θ)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 7

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 7.7

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (3 θ)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$