Trigonométrie Exemples

$(2 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 2 \sqrt{2}$ et $θ = \frac{5 π}{4}$ dans les formules.

$x = (2 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = 2 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9.5

Évaluez l’exposant.

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 1 \cdot 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 11

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 13.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$x = - 2$

$y = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun.

$x = - 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 13.4

Réécrivez l’expression.

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = - 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 14

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = - 2$

$y = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 17

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 17.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 2$

$y = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 17.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 17.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 17.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 17.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 2$

$y = - 2$

$x = - 2$

$y = - 2$

Étape 17.5

Évaluez l’exposant.

$x = - 2$

$y = - 1 \cdot 2$

$x = - 2$

$y = - 1 \cdot 2$

Étape 18

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2$

$y = - 2$

Étape 19

La représentation rectangulaire du point polaire $(2 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ est $(- 2, - 2)$ .

$(- 2, - 2)$