Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $45$ .

$x = 45$

Étape 7.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = 180 - 45$

Étape 7.4

Soustrayez $45$ de $180$ .

$x = 135$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 7.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- 45$ .

$x = - 45$

Étape 8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 + 45 + 180$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$x = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $225 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 45 + 180$ .

$x = 225 °$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 8.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $360$ à $- 45$ pour déterminer l’angle positif.

$- 45 + 360$

Étape 8.6.2

Soustrayez $45$ de $360$ .

$315$

Étape 8.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 315$

Étape 8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$