Trigonométrie Exemples

$(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 4 \sqrt{2}$ et $θ = \frac{5 π}{4}$ dans les formules.

$x = (4 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = 4 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$x = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 7

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 10.5

Évaluez l’exposant.

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 2 \cdot 2$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 11

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = - 4$

$y = (4 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 12

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 13

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$x = - 4$

$y = 4 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 14.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$x = - 4$

$y = 2 (2 \sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = - 4$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 16

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = - 4$

$y = - 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 18

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - 4$

$y = - 2 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 19

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 4$

$y = - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 19.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Étape 19.5

Évaluez l’exposant.

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

$x = - 4$

$y = - 2 \cdot 2$

Étape 20

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Étape 21

La représentation rectangulaire du point polaire $(4 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ est $(- 4, - 4)$ .

$(- 4, - 4)$