Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.1.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.1.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.2.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 3.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de $a = \cos (2 x)$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + \cos^{2} (2 x)}$

Étape 8

Déterminez $| z |$ .

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Étape 8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \cos^{2} (2 x)}$

Étape 8.2

Additionnez $0$ et $\cos^{2} (2 x)$ .

$| z | = \sqrt{\cos^{2} (2 x)}$

Étape 8.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \cos (2 x)$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})$ et $| z | = \cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\cos (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\cos (2 x)})))$