Trigonométrie Exemples

$\sin (2 θ) = \cos (θ)$

Étape 1

Soustrayez $\cos (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 θ) - \cos (θ) = 0$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) = 0$

Étape 3

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $2 \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) - \cos (θ) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot - 1$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $90$ .

$θ = 90$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 90$

Étape 5.2.4

Soustrayez $90$ de $360$ .

$θ = 270$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \sin (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 \sin (θ) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \sin (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (θ) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $30$ .

$θ = 30$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 30$

Étape 6.2.6

Soustrayez $30$ de $180$ .

$θ = 150$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $90 + 360 n$ et $270 + 360 n$ en $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier $n$