Trigonométrie Exemples

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ) = \sec (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ)) \sin (θ)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) \sin (θ)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \sin (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \sin (θ)$ .

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ et $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.3.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.3.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ)$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Étape 4.2

Pour écrire $\cos (θ)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos (θ)}$ comme $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\tan (θ) + \cot (θ)) \sin (θ) = \sec (θ)$ est une identité