Trigonométrie Exemples

$(6 \sqrt{3}, \frac{4 π}{3})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 6 \sqrt{3}$ et $θ = \frac{4 π}{3}$ dans les formules.

$x = (6 \sqrt{3}) \cos (\frac{4 π}{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = 6 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{3}))$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$x = 6 \sqrt{3} (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \sqrt{3} \cdot - 1$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

$x = 3 \sqrt{3} \cdot - 1$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 9.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 9.4

Réécrivez l’expression.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 11

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 13

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 14.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

Étape 14.5

Évaluez l’exposant.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 3 \cdot 3$

Étape 15

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = - 9$

Étape 16

La représentation rectangulaire du point polaire $(6 \sqrt{3}, \frac{4 π}{3})$ est $(- 3 \sqrt{3}, - 9)$ .

$(- 3 \sqrt{3}, - 9)$