Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{5 π}{12})$

Étape 1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Étape 6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Étape 7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Associez.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 7.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Étape 7.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Étape 7.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Étape 7.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.9

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Étape 7.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Étape 7.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Étape 7.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Étape 7.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Étape 7.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Étape 7.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 7.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 7.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Étape 7.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 7.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Étape 7.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 7.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 7.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$3.73205080 \dots$