Trigonométrie Exemples

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Étape 2

Définissez $\cot (θ) - \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 2.1

Définissez $\cot (θ) - \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ pour $θ$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Étape 2.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cotangente.

$θ = arccot (\sqrt{3})$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (\sqrt{3})$ est $30$ .

$θ = 30$

Étape 2.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 30$

Étape 2.2.5

Additionnez $180$ et $30$ .

$θ = 210$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\cot (θ)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\cot (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sqrt{2} \sin (θ) + 1$ égal à $0$ .

$\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sqrt{2} \sin (θ) + 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \sin (θ) = - 1$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sin (θ)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.2.2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.2.2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.2.2.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- 45$ .

$θ = - 45$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 45 + 180$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 45 + 180 °$ .

$θ = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $225 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 45 + 180$ .

$θ = 225 °$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.2.8

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.8.1

Ajoutez $360$ à $- 45$ pour déterminer l’angle positif.

$- 45 + 360$

Étape 3.2.8.2

Soustrayez $45$ de $360$ .

$315$

Étape 3.2.8.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 315$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (θ) + 1) = 0$ vraie.

$θ = 30 + 180 n, 210 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez $30 + 180 n$ et $210 + 180 n$ en $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$