Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) = - \frac{1}{4}$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (θ) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = \sqrt{{(4)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{16 - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Opposé $= \sqrt{16 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Opposé $= \sqrt{16 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

Opposé $= \sqrt{16 + {(- 1)}^{3}}$

Étape 4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Opposé $= \sqrt{16 - 1}$

Étape 4.4

Soustrayez $1$ de $16$ .

Opposé $= \sqrt{15}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{15}}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot \sqrt{15}$

Étape 6.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{15}$ comme $- \sqrt{15}$ .

$\tan (θ) = - \sqrt{15}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{15}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{4}{- 1}$

Étape 8.3

Divisez $4$ par $- 1$ .

$\sec (θ) = - 4$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\cos (θ) = - \frac{1}{4}$

$\tan (θ) = - \sqrt{15}$

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\sec (θ) = - 4$

$\csc (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$