Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) = 2 - 2 \sin (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) - 2 = - 2 \sin (x)$

Étape 1.2

Ajoutez $2 \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) - 2 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 2

Remplacez $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - 2 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$- \sin^{2} (x) + (1 + 1) \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) - 1 (- \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \sin (x) + 1$ .

$(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $- \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $- \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $- \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 3.4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.4.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$