Statistiques Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.2 \\ 4 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 12 & 0.2 \\ 17 & 0.2 \\ 21 & 0.1 \end{array}$

Step 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ ...). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$ .

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Additionnez $0.2$ et $0.2$ .

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Additionnez $0.4$ et $0.1$ .

$0.5 + 0.2 + 0.2 + 0.1$

Additionnez $0.5$ et $0.2$ .

$0.7 + 0.2 + 0.1$

Additionnez $0.7$ et $0.2$ .

$0.9 + 0.1$

Additionnez $0.9$ et $0.1$ .

$1$

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 = 1$

Step 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pourraient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$Expectation = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Step 3

Simplifiez l’expression.

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $2$ par $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Multipliez $4$ par $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 9 \cdot 0.1 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Multipliez $9$ par $0.1$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 12 \cdot 0.2 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Multipliez $12$ par $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 17 \cdot 0.2 + 21 \cdot 0.1$

Multipliez $17$ par $0.2$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 21 \cdot 0.1$

Multipliez $21$ par $0.1$ .

$Expectation = 0.4 + 0.8 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Additionnez $0.4$ et $0.8$ .

$Expectation = 1.2 + 0.9 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Additionnez $1.2$ et $0.9$ .

$Expectation = 2.1 + 2.4 + 3.4 + 2.1$

Additionnez $2.1$ et $2.4$ .

$Expectation = 4.5 + 3.4 + 2.1$

Additionnez $4.5$ et $3.4$ .

$Expectation = 7.9 + 2.1$

Additionnez $7.9$ et $2.1$ .

$Expectation = 10$