Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - 7 x + 12}{- 5 x + 15}$ est indéfinie.

$x = 3$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2} - 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 6.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{- 5 x + 15}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x + 15$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 15}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x) + 5 (3)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3)}{5 (- x + 3)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et $- x + 3$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 3)}{5 (- x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x) - 1 (3))}{5 (- x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (- 1 (- x + 3))}{5 (- x + 3)}$

Étape 6.1.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 4) \cdot (- 1)}{5}$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.2.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{- 1 \cdot (x - 4)}{5}$

Étape 6.1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 4}{5}$

Étape 6.2

Développez $- (x - 4)$ .

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Étape 6.2.1

Inversez $x - 4$ .

$\frac{- (x - 4)}{5}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 4}{5}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- x + 4}{5}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5$

$x$

$4$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5$ .

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$4$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	-	$x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x$

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$4$
	+	$x$
		$0$	+	$4$

Étape 6.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{x}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{x}{5}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{x}{5}$

Étape 8