Pré-calcul Exemples

$g (x) = \log (4 x - x^{2})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log (4 x - x^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 x - x^{2} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x \cdot 4 - x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot 4 + x (- x) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$x (4 - x) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 12$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (2) - {(2)}^{2} > 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$4 (6) - {(6)}^{2} > 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 12$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, 4)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 < x < 4}$

Étape 4