Pré-calcul Exemples

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ est indéfinie.

$x = - 2, x = 0$

Étape 2

Comme $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la gauche et $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la droite, $x = - 2$ est une asymptote verticale.

$x = - 2$

Étape 3

Comme $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 2, 0$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

Étape 8.2

Développez $x (x + 2)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Étape 8.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

Étape 8.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

Étape 8.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

Étape 8.8

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 10 x + 0$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

Étape 8.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

Étape 8.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x - 5$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 2, 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x - 5$

Étape 10