Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ est indéfinie.

$x = - 2, x = 3$

Étape 2

Comme $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{3}}{(x + 2) {(x - 3)}^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Étape 6.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

Étape 6.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Étape 6.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

Étape 6.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

Étape 6.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Étape 6.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

Étape 6.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Étape 6.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x^{3} - 36 x^{2} - 27 x + 162$

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

Étape 6.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$9$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$9 x^{2}$

$7 x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$11 x$

$2$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$27 x$

$162$

$48 x^{2}$

$16 x$

$160$

Étape 6.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + 9 + \frac{48 x^{2} + 16 x - 160}{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}$

Étape 6.12

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 9$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 9$

Étape 8