Pré-calcul Exemples

$\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = - 2, x = 1, x = 2$

Étape 2

Comme $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la gauche et $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 2$ depuis la droite, $x = - 2$ est une asymptote verticale.

$x = - 2$

Étape 4

Comme $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la gauche et $\frac{(x - 1) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2}}{(x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 3)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $2$ depuis la droite, $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Étape 5

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, - 2, 2$

Étape 6

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 7

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 5$

$m = 4$

Étape 8

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 9

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 9.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Étape 9.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{4}$ .

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

Étape 9.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Étape 9.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{5} + 2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x$

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

Étape 9.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

Étape 9.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Étape 9.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{4}$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

Étape 9.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Étape 9.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 56 x - 84$

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

Étape 9.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$7$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$8 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{3}$

$14 x^{2}$

$3 x$

$9$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$8 x^{2}$

$12 x$

$7 x^{4}$

$9 x^{3}$

$22 x^{2}$

$15 x$

$9$

$7 x^{4}$

$14 x^{3}$

$49 x^{2}$

$56 x$

$84$

$23 x^{3}$

$27 x^{2}$

$71 x$

$75$

Étape 9.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 7 + \frac{23 x^{3} - 27 x^{2} - 71 x + 75}{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}$

Étape 9.12

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 7$

Étape 10

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, - 2, 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 7$

Étape 11