Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$ est indéfinie.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot 5 = - 20$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 (x) + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.1.1.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $2$ plus $- 10$

$\frac{- 4 x^{2} + (2 - 10) x + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 4 x^{2} + 2 x) - 10 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (- 2 x + 1) + 5 (- 2 x + 1)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x + 1$ .

$\frac{(- 2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.5.1

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.2

Développez $- (2 x - 1) (2 x + 5)$ .

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Étape 5.2.1

Inversez $2 x - 1$ .

$\frac{- (2 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- (2 x) + 1) (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{2 x + 1}$

Étape 5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x (2 x)) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x) \cdot (2 x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.8

Déplacez $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.9

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot (2 x) \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.10

Déplacez $x$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.11

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 1 \cdot 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.13

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 x \cdot x - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x) - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 x^{1 + 1} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.18

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 \cdot (5 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.19

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.21

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 1 \cdot 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.23

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 10 x + 2 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.2.24

Additionnez $- 10 x$ et $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{2}$

$8 x$

$5$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 2 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					-	$6 x$	-	$3$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 3$

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x$	-	$3$
$2 x$	+	$1$	-	$4 x^{2}$	-	$8 x$	+	$5$
			+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$6 x$	+	$5$
					+	$6 x$	+	$3$
							+	$8$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- 2 x - 3 + \frac{8}{2 x + 1}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - 2 x - 3$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{1}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - 2 x - 3$

Étape 7