Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$ est indéfinie.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 24 \cdot 1 = 24$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 (x) + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $- 2$ plus $- 12$

$\frac{24 x^{2} + (- 2 - 12) x + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 x^{2} - 2 x - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(24 x^{2} - 2 x) - 12 x + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (12 x - 1) - (12 x - 1)}{4 x - 3}$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $12 x - 1$ .

$\frac{(12 x - 1) (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Étape 5.2

Développez $(12 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{4 x - 3}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{12 x \cdot (2 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.5

Déplacez $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.6

Déplacez $x$ .

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{12 \cdot (2 x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.8

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{24 x \cdot x + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 (x \cdot x) + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 x^{1 + 1} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 12 \cdot (- 1 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.13

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.14

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{24 x^{2} - 12 x - 2 x + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.2.16

Soustrayez $2 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{24 x^{2} - 14 x + 1}{4 x - 3}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$3$

$24 x^{2}$

$14 x$

$1$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $24 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$6 x$
	$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			+	$24 x^{2}$	-	$18 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $24 x^{2} - 18 x$

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$6 x$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	-	$3$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 3$

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$6 x$	+	$1$
$4 x$	-	$3$		$24 x^{2}$	-	$14 x$	+	$1$
			-	$24 x^{2}$	+	$18 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	+	$3$
							+	$4$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$6 x + 1 + \frac{4}{4 x - 3}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 6 x + 1$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \frac{3}{4}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 6 x + 1$

Étape 7