Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{4}}{2 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{4}}{2 x^{2}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{2}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2$ .

			$\frac{x^{2}}{2}$
	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	+	$x^{2}$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2}$

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x^{2}}{2}$
$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
	-	$x^{2}$
		$0$	+	$0 x$

Étape 6.8

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$\frac{x^{2}}{2}$

Étape 6.9

Comme il n’y a pas de partie polynomiale issue de la portion division polynomiale, il n’y a aucune asymptote oblique.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 8