Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x + k$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 6}{2 (2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 6}{2 (2)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 6}{2 (2)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (2)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 3}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{3}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{3}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 6 (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (- 3) (\frac{3}{2}) + k$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (- 3 (\frac{3}{2})) + k$

Étape 3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + k$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + k$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + k$

Étape 3.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + k$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + k$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{2} + k$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9}{2} + k$

Étape 3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{2} + k$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $- \frac{9}{2} + k$ .

$- \frac{9}{2} + k$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{3}{2}, - \frac{9}{2} + k)$

Étape 5