Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 2}{2 (2)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 2}{2 (2)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2^{2}}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 (2)}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) - 1$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) - 1$

Étape 3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 1 - 1$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} - 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - 1$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 - 2}{2}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Étape 5