Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 5 x^{2} - 15 x$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 15}{2 (- 5)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $- 5$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 15$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{2 (- 5)}$

Étape 2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $- 5$ à partir de $2 (- 5)$ .

$x = - \frac{- 5 (3)}{- 5 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{- 5 \cdot 3}{- 5 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 \frac{9}{2^{2}} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{9}{4}) - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 5 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Associez $- 5$ et $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 9}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} - 15 (- \frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $- 15 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + 15 (\frac{3}{2})$

Étape 3.2.1.8.2

Associez $15$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Étape 3.2.1.8.3

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{45}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{45}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{45}{4} + \frac{45 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 45 \cdot 2}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $45$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 45 + 90}{4}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 45$ et $90$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{45}{4}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(- \frac{3}{2}, \frac{45}{4})$

Étape 5