Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + 0$

Étape 1.3.3

Additionnez $3 x^{2} + 6 x + 1$ et $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 + 0$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $3 x^{2} + 6 x + 1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x + 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 6$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.3

Soustrayez $12$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.3

Soustrayez $12$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.5.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Étape 5.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{6})}{3}$

Étape 5.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.3

Soustrayez $12$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.6.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{6})}{3}$

Étape 5.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{6})}{3}$

Étape 5.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 - \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (3 - \sqrt{6})) + 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (3 - \sqrt{6}) + 6$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 3 - 2 (- \sqrt{6}) + 6$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 - 2 (- \sqrt{6}) + 6$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 6 + 2 \sqrt{6} + 6$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0 + 2 \sqrt{6}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{6}$

Étape 10

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Écrivez ${(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.4

Écrivez $3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 11.2.2.7

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1}$

Étape 11.2.2.8

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.2.9

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 - \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}}) \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.4.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 - \sqrt{6})}^{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.6.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.4.6.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 11.2.4.6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 11.2.4.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{3} (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.8

Multipliez ${\sqrt{6}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 11.2.4.6.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.6.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.10

Multipliez $9$ par $6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 + {(- \sqrt{6})}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.13

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{6^{3}})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.14

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{216})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.15

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 11.2.4.6.15.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{36 (6)})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.15.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - \sqrt{6^{2} \cdot 6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - (6 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.6.17

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 27 \sqrt{6} + 54 - 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.7

Additionnez $27$ et $54$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 - 27 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.8

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $- 27 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 - 33 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.9

Annulez le facteur commun à $81 - 33 \sqrt{6}$ et $9$ .

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Étape 11.2.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- (81 - 33 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{3 (3)} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 - 11 \sqrt{6}))}{3 \cdot 3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6})}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 {(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.4.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{6}}{3})}^{2}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (1 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.13

Multipliez $\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.4.15.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.15.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3}) \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.15.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.4.16.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 - \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.16.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + {(3 - \sqrt{6})}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.17

Réécrivez ${(3 - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + (3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.18

Développez $(3 - \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.4.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (3 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (3 - \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.4.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.19.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}) - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 11.2.4.19.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 11.2.4.19.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.19.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 9 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} + 6 - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.2

Additionnez $9$ et $6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.19.3

Soustrayez $3 \sqrt{6}$ de $- 3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - (3 - \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.20

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 1 \cdot 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.22

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 11.2.4.22.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + 1 \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.22.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4.23

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.5

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.6

Associez les fractions.

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Étape 11.2.6.1

Associez $15$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6}) + 15 \cdot 3}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.6.2.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 - 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (- 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - (- 11 \sqrt{6}) + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.7.3

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 + 11 \sqrt{6} + 45}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.7.4

Additionnez $- 27$ et $45$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} - 6 \sqrt{6} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.8

Pour écrire $- 6 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} - 6 \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.9

Associez les fractions.

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Étape 11.2.9.1

Associez $- 6 \sqrt{6}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.10.1

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 11 \sqrt{6} - 18 \sqrt{6}}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.10.2

Soustrayez $18 \sqrt{6}$ de $11 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} - 3 + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.11

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.12

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.13.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6} - 3 \cdot 3}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.13.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 7 \sqrt{6} - 9}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.13.3

Soustrayez $9$ de $18$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 11.2.14

Pour écrire $\sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 12}{3}$

Étape 11.2.15

Associez $\sqrt{6}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Étape 11.2.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.16.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Étape 11.2.16.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{6} \cdot 3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 7 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Étape 11.2.17

Additionnez $- 7 \sqrt{6}$ et $3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Étape 11.2.18

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3}}{3}$

Étape 11.2.19

Associez les fractions.

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Étape 11.2.19.1

Associez $- 12$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Étape 11.2.19.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6} - 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Étape 11.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.20.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 - 4 \sqrt{6} - 36}{3}}{3}$

Étape 11.2.20.2

Soustrayez $36$ de $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 11.2.21

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.2.21.1

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 11.2.21.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Étape 11.2.21.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (27) - (4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (27 + 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Étape 11.2.21.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 11.2.22

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 11.2.23

Multipliez $- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.2.23.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Étape 11.2.23.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$

Étape 11.2.24

La réponse finale est $- \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 + \sqrt{6})}{3} + 6$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (- (3 + \sqrt{6})) + 6$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (3 + \sqrt{6}) + 6$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 3 - 2 \sqrt{6} + 6$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 - 2 \sqrt{6} + 6$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0 - 2 \sqrt{6}$

Étape 13.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{6}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{6}$

Étape 14

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez ${(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} - 4$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1}$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} - \frac{3 + \sqrt{6}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{3} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}}) \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{27} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.4.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- {(3 + \sqrt{6})}^{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.6.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.4.6.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 15.2.4.6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 15.2.4.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{1 + 2} \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 3^{3} \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 3 \cdot (3 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 9 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.6

Multipliez $9$ par $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + {\sqrt{6}}^{3})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{6^{3}})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.8

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{216})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.9

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 15.2.4.6.9.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{36 (6)})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.9.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + \sqrt{6^{2} \cdot 6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.6.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 27 \sqrt{6} + 54 + 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.7

Additionnez $27$ et $54$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 + 27 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.8

Additionnez $27 \sqrt{6}$ et $6 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (81 + 33 \sqrt{6})}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.9

Annulez le facteur commun à $81 + 33 \sqrt{6}$ et $9$ .

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Étape 15.2.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- (81 + 33 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{9} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{3 (3)} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{3 (- (27 + 11 \sqrt{6}))}{3 \cdot 3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6})}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 {(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.4.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{6}}{3})}^{2}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (1 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}})) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.13

Multipliez $\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.4.15.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3 (3)}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.15.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (\frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3}) \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.15.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.4.16.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{{(3 + \sqrt{6})}^{2}}{3} \cdot 3 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.16.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + {(3 + \sqrt{6})}^{2} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.17

Réécrivez ${(3 + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + (3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.18

Développez $(3 + \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.4.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 (3 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} (3 + \sqrt{6}) - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.4.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.19.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{36} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.1.5

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 9 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} + 6 - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.2

Additionnez $9$ et $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.19.3

Additionnez $3 \sqrt{6}$ et $3 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - (3 + \sqrt{6}) - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.20

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 1 \cdot 3 - \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 15.2.4.22

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.5

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.6

Associez les fractions.

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Étape 15.2.6.1

Associez $15$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 + 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6}) + 15 \cdot 3}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.6.2.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- (27 + 11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - (11 \sqrt{6}) + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.7.3

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 - 11 \sqrt{6} + 45}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.7.4

Additionnez $- 27$ et $45$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + 6 \sqrt{6} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.8

Pour écrire $6 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + 6 \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.9

Associez les fractions.

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Étape 15.2.9.1

Associez $6 \sqrt{6}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6}}{3} + \frac{6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.10.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 - 11 \sqrt{6} + 18 \sqrt{6}}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.10.2

Additionnez $- 11 \sqrt{6}$ et $18 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} - 3 - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.11

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.12

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.13.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6} - 3 \cdot 3}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.13.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{18 + 7 \sqrt{6} - 9}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.13.3

Soustrayez $9$ de $18$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} - \sqrt{6} - 12}{3}$

Étape 15.2.14

Pour écrire $- \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} - \sqrt{6} \cdot \frac{3}{3} - 12}{3}$

Étape 15.2.15

Associez les fractions.

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Étape 15.2.15.1

Associez $- \sqrt{6}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6}}{3} + \frac{- \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Étape 15.2.15.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 3}{3} - 12}{3}$

Étape 15.2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.16.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 7 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Étape 15.2.16.2

Soustrayez $3 \sqrt{6}$ de $7 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} - 12}{3}$

Étape 15.2.17

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} - 12 \cdot \frac{3}{3}}{3}$

Étape 15.2.18

Associez les fractions.

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Étape 15.2.18.1

Associez $- 12$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6}}{3} + \frac{- 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Étape 15.2.18.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6} - 12 \cdot 3}{3}}{3}$

Étape 15.2.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.19.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{9 + 4 \sqrt{6} - 36}{3}}{3}$

Étape 15.2.19.2

Soustrayez $36$ de $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 15.2.20

Simplifiez en factorisant.

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Étape 15.2.20.1

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 + 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 15.2.20.2

Factorisez $- 1$ à partir de $4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 27 - (- 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Étape 15.2.20.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (27) - (- 4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (27 - 4 \sqrt{6})}{3}}{3}$

Étape 15.2.20.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3}}{3}$

Étape 15.2.21

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 15.2.22

Multipliez $- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 15.2.22.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Étape 15.2.22.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$

Étape 15.2.23

La réponse finale est $- \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x - 4$ .

$(- \frac{3 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{27 + 4 \sqrt{6}}{9})$ est un minimum local

$(- \frac{3 + \sqrt{6}}{3}, - \frac{27 - 4 \sqrt{6}}{9})$ est un maximum local

Étape 17