Pré-calcul Exemples

$y^{2} = 81 - 9 x^{2}$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{81 - 9 x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $9$ à partir de $81 - 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) - 9 x^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9) + 9 (- x^{2})}$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (9) + 9 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{9 (9 - x^{2})}$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3^{2} - x^{2})}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (3 + x) (3 - x)}$

Étape 2.4

Réécrivez $9 (3 + x) (3 - x)$ comme $3^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (3 + x) (3 - x)}$

Étape 2.4.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \pm \sqrt{3^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

$y = - 3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 5.2

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.3

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 5.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 5.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 5.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 5.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Étape 5.6.1.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Étape 5.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Étape 5.6.3.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 5.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x \leq 3$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 3, 3]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Étape 7

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 9, 9]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 9 \leq y \leq 9}$

Étape 8

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 3, 3], {x | - 3 \leq x \leq 3}$

Plage : $[- 9, 9], {y | - 9 \leq y \leq 9}$

Étape 9