Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{16}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Étape 3.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Étape 3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Étape 3.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Étape 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 5

Simplifiez $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Étape 5.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 5.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 5.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Étape 5.8

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Étape 5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Étape 5.11

Multipliez $\frac{4 + x}{2}$ par $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Étape 5.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Étape 5.13.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 5.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Étape 5.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 5.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 7

Définissez le radicande dans $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 8.2

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8.3

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.3.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 8.3.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 8.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 8.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 8.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Étape 8.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Étape 8.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Étape 8.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 8.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Étape 8.6.3.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 8.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 4$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 2, 2]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Plage : $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Étape 12