Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Étape 2

Simplifiez $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

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Étape 2.1

Associez en une fraction.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Étape 2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $3$ et $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Étape 2.2.3.4

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Étape 2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Étape 2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Étape 2.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ dans le numérateur.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.1.1.1.2

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.1.1.2.2

Multipliez ${(y - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Étape 4.2.1.2

Associez $16$ et $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Étape 6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ comme ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez la puissance parfaite ${(2^{2})}^{2}$ dans $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Étape 6.1.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Étape 6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Étape 6.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Étape 6.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Étape 7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Étape 7.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Étape 7.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Étape 7.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Étape 8

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 9.2

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 9.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 9.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ vraie.

$x = - 7, - 1$

Étape 9.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 9.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 9.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Étape 9.6.1.3

Le côté gauche $27$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 9.6.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Étape 9.6.2.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.6.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Étape 9.6.3.3

Le côté gauche $7$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

Étape 9.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 7$ ou $x \geq - 1$

Étape 10

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Étape 11

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 12

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 13