Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{7} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{7} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 4$

$b = \sqrt{7}$

$k = 4$

$h = - 3$

Étape 4

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}}}{4}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - {\sqrt{7}}^{2}}}{4}$

Étape 6.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{16 - 7^{\frac{2}{2}}}}{4}$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{16 - 7^{1}}}{4}$

Étape 6.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 7}}{4}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{16 - 7}}{4}$

Étape 6.4

Soustrayez $7$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{9}}{4}$

Étape 6.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{4}$

Étape 6.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{4}$

Étape 7