Pré-calcul Exemples

$p (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - \frac{3}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.11

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.14

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.17

Multipliez $- 7 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 4.1.17.1

Associez $- 7$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.17.2

Multipliez $- 7$ par $9$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.19

Multipliez $- 21 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 4.1.19.1

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

Étape 4.1.19.2

Associez $21$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

Étape 4.1.19.3

Multipliez $21$ par $3$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $63$ de $81$ .

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 27$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 27}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.4

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{63}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{63}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5.3

Multipliez $63$ par $2$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $36$ de $- 108$ .

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 144$ et $18$ .

$\frac{- 126 + 126}{4}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 126$ et $126$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.6.4

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $- \frac{3}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + \frac{3}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(- \frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(8)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 10)$ par le diviseur $(- \frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(15)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 21)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(- \frac{3}{2})$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Étape 8.1.3

Remplacez $- 1.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $- 1.5$ dans le polynôme.

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.2

Élevez $- 1.5$ à la puissance $4$ .

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $4$ par $5.0625$ .

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.4

Élevez $- 1.5$ à la puissance $3$ .

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $8$ par $- 3.375$ .

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.6

Soustrayez $27$ de $20.25$ .

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.7

Élevez $- 1.5$ à la puissance $2$ .

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.8

Multipliez $- 7$ par $2.25$ .

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.9

Soustrayez $15.75$ de $- 6.75$ .

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Étape 8.1.3.10

Multipliez $- 21$ par $- 1.5$ .

$- 22.5 + 31.5 - 9$

Étape 8.1.3.11

Additionnez $- 22.5$ et $31.5$ .

$9 - 9$

Étape 8.1.3.12

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $- 1.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

Étape 8.1.5

Divisez $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ par $2 x + 3$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{4} + 6 x^{3}$

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x^{2} - 15 x$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

Étape 8.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

Étape 8.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

Étape 8.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

Étape 8.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 9$

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

Étape 8.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

Étape 8.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

Étape 8.1.6

Écrivez $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Étape 8.2

Factorisez $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Étape 8.2.1.3

Remplacez $- 1.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.2.1.3.1

Remplacez $- 1.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.2

Élevez $- 1.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3.375$ .

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.4

Élevez $- 1.5$ à la puissance $2$ .

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.5

Additionnez $- 6.75$ et $2.25$ .

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.6

Multipliez $- 5$ par $- 1.5$ .

$- 4.5 + 7.5 - 3$

Étape 8.2.1.3.7

Additionnez $- 4.5$ et $7.5$ .

$3 - 3$

Étape 8.2.1.3.8

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 8.2.1.4

Comme $- 1.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

Étape 8.2.1.5

Divisez $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ par $2 x + 3$ .

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Étape 8.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

Étape 8.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Étape 8.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 8.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 8.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 8.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 8.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 8.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 8.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 8.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Étape 8.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Étape 8.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Étape 8.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

Étape 8.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 3$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

Étape 8.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

Étape 8.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 1$

Étape 8.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 8.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 8.3.1

Élevez $2 x + 3$ à la puissance $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 8.3.2

Élevez $2 x + 3$ à la puissance $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 8.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 8.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez ${(2 x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez ${(2 x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

Étape 10.2

Résolvez ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 10.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 10.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 11

Définissez $x^{2} - x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x^{2} - x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 11.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 11.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Forme de nombre mixte :

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 14